jueves, 5 de mayo de 2011

Curcunferencia Goniometrica - GeoGebra Hoja Dinámica

Curcunferencia Goniometrica

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Daniel Domínguez Mascaraque, Creación realizada con GeoGebra

miércoles, 4 de mayo de 2011

Circunferencia Gonometrica

Circunferencia goniométrica

De Wikipedia, la enciclopedia libre

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Parametrización de la circunferencia goniométrica. La variable t es el ángulo y sus puntos son: (x, y) = (cost, sent).

La circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria o «círculo unidad» es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas, de un plano euclídeo.
Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares.
Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad del primer cuadrante, entonces x e y son las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa tiene longitud 1. Aplicando el teorema de Pitágoras, x e y satisfacen la ecuación:

$x^2 + y^2 = 1 = radio = hipotenusa \,$

Contenido

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Razones trigonométricas en la circunferencia unidad

La circunferencia unidad y el triángulo rectángulo asociado.

Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo $\alpha \,$ con el eje X, las principales funciones trigonométricas se puede definir como valores de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:
El seno es la razón entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c)

$\operatorname{sen}(\alpha)= \frac{a}{c}$

y dado que la hipotenusa es igual al radio, que tiene valor = 1, se deduce:

$\operatorname{sen}(\alpha)= a \,$

El coseno es la razón entre el cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c)

$\cos(\alpha)= \frac{b}{c}$

y como la hipotenusa tiene valor = 1, se deduce:

$\cos(\alpha)= b \,$

La tangente es la razón entre el cateto opuesto y el adyacente

$\tan(\alpha)= \frac{a}{b}$

Principales valores de las razones trigonométricas representados como segmentos respecto de la circunferencia goniométrica.

Valores de los ángulos más comunes y las coordenadas correspondientes sobre la circunferencia goniométrica.

Por semejanza de triángulos: AE / AC = OA / OC
como OA = 1, se deduce que: AE = AC / OC

$\tan(\alpha)= segmento AE \,$

Razones trigonométricas recíprocas

La cosecante, la secante y la cotangente, son las razones trigonométricas recíprocas del seno, coseno y tangente:

$\csc (\alpha) = \frac{1}{\operatorname{sen} (\alpha)} = \overline{OF}$

$\sec (\alpha) = \frac{1}{\cos (\alpha)} = \overline{OE}$

$\cot (\alpha) = \frac{1}{\tan (\alpha)} = \overline{AF}$

Los valores de la cotangente, la secante y la cosecante se obtienen, análogamente, mediante semejanza de triángulos.

Topología

En topología, a la circunferencia unitaria (también denominado círculo unitario) se la clasifica como S¹; la generalización para una dimensión más es la esfera unidad S².

Véase también

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Circunferencia goniométrica. Commons
Medida de ángulos
Razones trigonométricas

miércoles, 13 de abril de 2011

Teorema de Napoleon

Videos demostrativos del teorema de Pitagoras

Videos de mostrativos del teorema de Thales

jueves, 17 de febrero de 2011

Tipos de graficas de funciones

EJEMPLO DE FUNCION

Una función es una maquiníta en donde ponemos trozos de "pan" y de donde tomamos "tostadas". En este caso...

el pan se llama "variable independiente", porque podemos poner en la maquinita trozos de cualquier cantidad, siempre que sea esa cantidad "manejable" por la maquinita.

Lo que sale de la maquinita se llama "variable dependiente", porque el tama~no de la tostada depende de la cantidad del pan que hemos puesto.

Consecuentemente, podemos decir que una maquinita es una ecuación, pone cantidades de pan definidas iguales a cantidades específicas de tostadas.

Ese tipo de ecuación sirve para poder describir como unas cantidades dependen de otras, por ejemplo como la presión sobre un objeto cambia cuando cambia el área de su superficie

miércoles, 9 de febrero de 2011

Estudio grafico de funciones

CONCEPTO DE FUNCIÓN

Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda (o ninguno), que llamamos imagen o transformado.

A la función se le suele designar por f y a la imagen por f(x), siendo x la variable independiente.

* Variable independiente: la que se fija previamente

* Variable dependiente: La que se deduce de la variable independiente.

Las funciones son como máquinas a las que se les introduce un elemento x y devuelven otro valor y, que también se designa por f(x).

Por ejemplo, la función f(x) = 3x2 + 1 es la que a cada número le asigna el cuadrado del número multiplicado por 3 y luego sumado 1.

Así f(2) = 3*22 + 1= 3*4 + 1 = 12 + 1 = 13

jueves, 9 de diciembre de 2010

Ejercicios con wiris

jueves, 2 de diciembre de 2010

Exámen con wiris

miércoles, 3 de noviembre de 2010

El Mundo de los polinomios

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.

Sin embargo si efectúo

Otros ejemplos:

Si se trata de una diferencia de cuadrados: Es igual a suma por diferencia.

Se basa en la siguiente fórmula

Pero aplicada al revés, o sea que si me dicen que factorice escribo

Otros ejemplos de factorización por este método:

Si se trata de un trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio

Se basa en las siguientes fórmulas

Así si nos dicen que factoricemos: , basta aplicar la fórmula anterior y escribir que

Otros ejemplos de factorización por este método:

Si se trata de un trinomio de segundo grado: O sea un polinomio de este tipo

, siendo a, b y c números

Se iguala el trinomio a cero , se resuelve la ecuación , y si tiene dos soluciones distintas, y se aplica la siguiente fórmula:

Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio

Igualamos a cero

Resolvemos la ecuación , y separando las dos soluciones , , y aplicando la fórmula, teniendo en cuenta que a=2

Para cualquier polinomio que tenga raíces enteras se puede aplicar la regla de Ruffini: Decir que un polinomio tienes raíces enteras es encontrar valores de x números enteros que al sustituirlos en el polinomio nos da cero.

Si un polinomio de , por ejemplo, cuarto grado tiene cuatro raíces enteras, , , y se factoriza así:

Pero ¿cómo se obtienen las raíces?, por la regla de Ruffini

Ejemplo: Factorizar

Se aplica la regla de Ruffini, probando los divisores del término independiente, en este caso de 12. O sea que se prueba con 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 y –12

Probemos con uno

Se copian los coeficientes del polinomio:

-4

-1

-12

Y se escribe en una segunda línea el número uno

	1	-4	-1	16	-12
1

El primer coeficiente se copia abajo en una tercera línea

	1	-4	-1	16	-12
1
	1

Se multiplica ese coeficiente, uno (1), por el número que estamos probando, en este caso también uno (1), o sea uno por uno = uno (1). Este uno se escribe debajo del siguiente coeficiente, o sea del –4

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1

Se suma –4+1=-3

	1	-4	-1	16	-12
1		1
	1	-3

Se multiplica –3 por 1=-3 y se escribe debajo del siguiente coeficiente, -1

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3
	1	-3

Se suma –3-1=-4 y así sucesivamente

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0

Como vemos la última suma ha dado cero. Eso quiere decir que uno es una raíz del polinomio y que nos sirve para factorizar.

Si hubiera dado distinto de cero habría que seguir probando los demás divisores de 12.

Los coeficientes que han quedado en la última fila, en realidad son los coeficientes del cociente de dividir el polinomio entre x-1, y la última suma es el resto de dicha división.

Si escribimos la relación fundamental de una división entera, o sea que

Dividendo=Divisor x Cociente+Resto

De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay que intentar seguir factorizando, de nuevo por la regla de Ruffini.

Aplicando sucesivas veces esta regla queda:

	1	-4	-1	16	-12
1		1	-3	-4	12
	1	-3	-4	12	0
2		2	-2	-12
	1	-1	-6	0
-2		-2	6
	1	-3	0

Como las raíces son, 1, 2 y –2 y el último cociente es x-3

La factorización final es:

Si en las sucesivas pruebas no encontramos ningún resto cero, quiere decir que el polinomio no se puede factorizar dentro de los números reales.

EN RESUMEN

Muchas veces se pueden combinar estos cinco métodos. Según como sea el polinomio hay métodos que se pueden aplicar y otros que no. Se aconseja que se intenten aplicar los cinco métodos sucesivamente, sobre todo, si se puede sacar factor común se hace en primer lugar, y si luego en uno de los factores se puede seguir aplicando otros de los métodos, se aplica.

EJEMPLOS: Factorizar los siguientes polinomios

1.-

Podemos aplicar el primer método, o sea sacar factor común

El segundo factor, o sea el paréntesis, es un trinomio de segundo grado y cuadrado perfecto. Se puede factorizar por el tercero, cuarto o quinto método. Apliquemos el tercero y queda:

2.-

Primero sacamos factor común:

Al paréntesis le podemos aplicar el segundo método y queda: =

Y aún más, al segundo paréntesis le podemos volver a aplicar el segundo método:

El polinomio de segundo grado que queda en el tercer paréntesis no se puede factorizar. Si probamos el cuarto método, igualando a cero y resolviendo la ecuación queda